粒子从s通过小孔1到过x的振幅可进一步描述为（命名为式4-2）：
由式4-2可知，电子通过孔1由s到x的概率幅写成<1|s>与<x|1>两段概率振幅的乘积，而不是相加。
之所以描述为两段路程的概率幅的乘积，这是因为只有将<1|s>与<x|1>两段概率振幅相乘才能使这两段部分的相位相加（概率幅的指数部分代表相位大小），从而确保相位变化是连续性。
电子由s经过双孔到达x的过程中，电子可能是通过孔1，也可能是孔2，这两条路径无法区分，因此总振幅为各条独立路径的振幅之和（即发生概率幅的叠加或称为概率幅的干涉），具体表示为：
也就是说，如果完成一个事件，有两条独立路径可以完成，但如果只根据初态和末态，无法判断是通过哪条路径完成（即这两条路径不可区分）时，则事件的总概率振幅等于各路径振幅之和。这就是量子力学的最重要的原理——费曼称之为量子力学的第二原理。
如果路径可区分，事件的总概率振幅不等于各路径振幅之和，但事件的总概率等于各路径的概率之和。
设想有这样一个实验装置，在电子干涉实验中，在小孔后放置一个光源，如图所示。
不难发现，光子进入D1且电子由s到x的事件（称为事件Ⅰ）和光子进入D2且电子由s到x的事件（称为事件Ⅱ）是独立的且可以区分的。
这时我们会发现电子从s到x的概率=事件Ⅰ的概率+事件Ⅱ的概率，具体的表达式如下：
上式的第一项表示电子由s到x时且光子由L到D1的概率，第二项电子由s到x时且光子由L到D2的概率。
这个实验进一步证实了量子力学第二原理的正确性。
总之，如果事件能以两种不能区别的方式发生，因此发生振幅的干涉（或称为振幅的叠加）。如果事件是以两种能区别的方式发生，则不会发生振幅的干涉。
六、某基础态从初态到末态的中间过程——本质是概率幅的叠加
我们知道，原子束通过施特恩-格拉赫实验装置（尖端磁体产生均匀磁场）会发生分裂。
假设有一束汞原子束，通过施特恩-格拉赫实验装置后分裂成三束，这三束的形成，非常类似于电子通过三个小孔的情形。我们不妨将这三束称为原子的不同状态（分别命名为+态，0态，-态）。
如果在施特恩-格拉赫实验装置（此装置命名为S）里安装挡板（即让此装置起到过滤器的作用），则意味着我们将通过装置S得到某个指定的状态（比如+S态），如下图中第一个装置：
把+S态再通过一个相同的施特恩-格拉赫实验装置，我们发现，+S态不再发生分裂，出来的仍是+S态。因此，我们把施特恩-格拉赫实验装置里分裂出来的三个状态称为基础态。
也就是说，施特恩-格拉赫实验装置能将原子体系分解三个基础态。
如果把+S态通过一个也加了挡板的施特恩-格拉赫实验装置（比如挡住+S、0S态），如下图所示：
我们发现，从第二台施特恩-格拉赫实验装置出来的原子束的原子个数为零，即从+S态到-S态的概率幅为零，即：
如果在S装置后串联的施特恩-格拉赫实验装置倾侧一个角度（沿y轴旋转），这样，我们其实得到了一个新装置（命名为T），如图所示：
我们发现，从S装置出来的+S态的原子进入T装置后，+S态的原子有些进入+T态，有些进入0T态，还有一些进入-T态。
这说明，某一组所谓的基础态（+S，0S，-S），通过某种方式，我们又可以得到另一组新的基础态（+T，0T，-T）。
这两组基础态都可以单独完整地描述原子束所处的状态。也就是说，我们描述一个物体的状态可以用不同的方式，或者称为不同的维度——每种方式或维度都是等效的。
这就好像，我们可以通过直角坐标（x,y,z）来描述一个宏观物体所处的空间位置，也可以通过球坐标的（r,θ,φ）来描述物体所处的空间位置。
现在，我们再串联一个S装置（命名为S’），即有3个装置串联。
第一个和最后一个S装置完全相同，而且内部都有挡板，不过中间的T装置没有挡板，于是我们得到如下的引人注目的结果，如下图：
由图可知，第一种情况：最初+S态的数量是N，最终出来的+S态的数量也是N。
这说明，+S态虽然以一定的振幅分解成+T，0T，-T态，这些+T，0T，-T态又各自以一定的振幅再分解成+S，0S，-S态，但最终，从S’装置中出来的+S态概率幅等于1，即下式是成立的（式5-1）：
<+S|+T><+T|+S>+<+S|+T><+T|+S>+<+S|+T><+T|+S>=1
第二种情况，最初+S态的数量是N，最终出来的0S态的数量是0。这说明，从S’装置中出来的0S态概率幅等于0，即下式也是成立的（式5-2）：
<0S|+T><+T|+S>+<0S|+T><+T|+S>+<0S|+T><+T|+S>=0
三个装置串联后得到的实验事实告诉我们——不同基础态的变换，其实就是概率幅的叠加过程。
而且，如果添加了中间装置（比如两个S装置之间加入T装置，双缝墙之后加光源）但不产生影响的话（比如T装置不加挡板，双缝墙之后光源不发光），则不影响初态到末态之间变换的概率振幅大小。
七、某个基础态从初态到末态的中间过程——矩阵表示方式
为了使上面式5-1和式5-2的表达方式更清晰简洁，我们把第一台S装置出来的+S态命名为φ，最后一台S装置出来的+S态命名为χ，用i表示遍及某一特定过滤器的3个基础态，则有：
也可以把从S装置出来的+S态进入T装置的每个基础态的概率振幅写成列表，形式如下：
有了这个矩阵，我们可以非常方便地看出粒子从状态a到状态b的振幅是多少。
再如，从T装置出来的三个基础态进入S’装置中，则S’装置出来的每个基础态均有三个振幅组成，情况如下：
显然，这个矩阵的作用其实就是S’装置起的作用，因此，每个矩阵其实是一个装置。
如果将S’装置与T装置的串联，各基础态的振幅又是如何演变的呢？
从上图可知，从S’装置出来的+S态有三条路径构成，振幅由αa11、βa12、γa13组成的。类似的，从S’装置出来的0S态和-S态也各自有三条路径构成的振幅组成。
显然，当S’装置与T装置的串联时，某条路径上各部分的振幅是相乘的，写成矩阵形式如下：
由于粒子先通过T，再通过S’，矩阵相乘的符号可表示：S’×T。
当粒子先通过S’，再通过T，矩阵相乘的符号可表示为：T×S‘。
有个技巧是：初态若为1（比如进入T装置的+S态命名为1），末态也是1(比如从S’装置出来的+S态），则矩阵T与矩阵S’相乘得到的新矩阵的第11个位置的概率幅=“初态1→中间各态→末态1”包含的振幅之和。
以此类推，新矩阵的21位置的概率幅=“初态2→中间各态→末态1”包含的振幅之和。
显然，如果装置T中的档板，则意味着粒子由T进入S’和由S’进入T是完全不相同的情况。
比如，当由T进入S’时，若T中有挡板，挡住0T和-T态，被挡住的基础态0T和-T态的振幅为0。
可是，当由S’时入T时，T中虽有挡板挡住0T和-T态，但挡住的基础态的振幅是由S‘产生，跟是否有挡板无关，则0T和-T态的概率振幅不为0），因此，S’T≠TS’。
其中，装置A和B串联（先通过A，再通过B），新矩阵<i|C|φ>等于矩阵<i|A|φ>与矩阵<χ|B|i>相乘。
假设某原子束（比如银原子束）通过串联的两个施特恩-格拉赫装置，如下图所示。
从S装置出来的+S态的概率幅设为C1，-S态的概率幅设为C2。
根据概率幅的叠加原理，从S’装置出来+S态的概率幅≠C1，而是等于从S装置出来的每个基础态概率幅的叠加。
我们完全有理由相信，S’中出来的+S态的概率幅是由S装置中出来的+S态和-S态的概率幅随时间演变后得到新的概率幅，新的概率幅再进行叠加而来。
若设S’中出来的+S态的概率幅为Ci(t+Δt)，S中出来的基础态的概率振为Cj，则两者之间的关系如下：
其中，kijΔt是一个随时间变化的函数，kij的意义目前暂时不明。
进一步推导，则+S态概率振幅在前后两个时刻的变化为：
若系统中只有一个基础态（比如某静止的自由粒子），则C2=0，则上式变为：
则上述的微分方程的解，即自由粒子的概率幅C1为（式7-2）：
根据式2-2，一个自由粒子的概率幅的指数形式如下：
其中，ψ（x,t）与式7-2中C1都是指自由粒子的概率幅，A是常数。
由于粒子静止，则式2-2中的kx=0，则由式2-2和式7-2可得（式7-3）：
对比式7-2和7-4，我们发现，系数K本质上是能量决定的。
也就是说，各个基础态之间转变时的振幅与系统的能量紧密相关。
我们用C11可表示初态的+S态到末态的+S态的振幅，则H11可表示初态的+S态到末态的+S态的系统能量。
现在知道了K的物理意义，则基础态+S的概率幅C1的变化以及基础态-S的概率幅C2的变化的形式如下，此公式也称为哈密顿方程式（式7-5）：
其中，dC2/dt和dC1/dt是指概率幅随时间的变化。
从式7-6，我们知道了，概率幅φ的变化是由矩阵Hij描述的。式7-6也被称为动力学的量子力学定律。
十、氨微波激射器（1）——氨分子双态系统的本质：能级概率幅的叠加
氨分子有1个氮原子和3 个氢原子，成金字塔形。
对于氮原子，可以在氢原子平面的一侧或另一侧，所以，我们可以把氨分子当成一个双态系统来讨论。
任何时刻氨分子的状态|φ>可由C1=<1|φ>和C2=<2|Φ>表示出来，表达式如下：
若分子系统全部为|1>态，则C2=0，则上式可变为（式8-1）：
若分子系统全部为|2>态，则C1=0，则上式可变为（式8-2）：
显然，如果自然界是对称的话，则H11=H22，而且设定它们都等于E0（E0可以认为是氨分子定态时的最低能量）。
可是，根据量子隧穿效应，氮原子是可能从一侧穿透势垒到氢原子平面的另一侧的，也就是说，由|1>态演变为|2>态的概率幅并不为0，则有：H12=H21，而且我们设定H12=H21=-A（其中，-A表示|1>态演变为|2>态时所需要的能量）。则根据式7-5，则（式8-3）：
将式8-3中两个方式相加和相减，我们最终会解出C1和C2的大小，结果如下（式8-4）：
若b=0，C1和C2相等，意味着氮原子“在上”或“在下”两个状态有相同的振幅，氨分子有确定的能量(E0-A)。
当a=0，则C1=-C2，两个振幅等值反号（表明分子的相位变化相反，一个是增，另一个的相位则减，类似两个摆动在反向摆动），此时具有另一个确定的能量(E0+A)。
这说明，氯分子的能量并不正好处于E0，而是有(E0-A)和(E0+A)两个能级。氨分子的每一个状态都是由这两个能级的概率幅叠加而成的。
当t≠0时，对式8-4进一步求解，则得到(式8-5）:
由式8-5可知，t=0时，最初|1>的概率幅最大，概率为1；|2>的概率为0。随着的时间的推移，|1>的概率“倾泻”入|2>状态中，直至|1>的概率为0，如下图所示：
上述情况非常类似能量来回交换的耦合摆——将两个摆球中的一个拉向一边，渐渐地，另一个不动地球也开始摆动起来。不一会儿，第二个球获得所有能量， 第一个球静止。接着，过程逆转，第一个摆又获得能量。
一对摆有两种稳定的基本模式（有确定频率）——同向摆动和反向摆动。当把一个球拉向一边时，此时既不是同向摆动，也不是反向摆动，此时应该看成是两种摆动模式的频率的叠加，从而得到一个拍现象。
类似的，(E0-A)/h和(E0+A)/h各对应于同向摆动和反向摆动时的频率，则当所有氮原子位于氢原子平面的同一侧（即|1>态或者|2>态）时——相当于一个球拉向了一边，此时|1>态或者|2>态的概率幅应看成是两种摆动模式的概率幅的叠加。
显然，(E0-A)和(E0+A)反映了氨分子有两个能级，即意味着氨分子有两个确定能量大小的状态，我们分别设态|φⅡ>为较低能级，能量为EⅡ=E0-A，而态|φⅠ>为较高能级，能量为EⅠ=E0+A。
十一、氨微波激射器（2）——静电场中选出能级较高的氨分子
对于处于电场中的氨分子，我们可以预料态|1>的能量为H11=E0+με。态|2>的能量为H22–E0-με。
【补充：其中，μ为电偶极矩，偶极矩定义为距离与电量的乘积，若正负电荷中心重合，则μ=0。ε为电场强度。根据做功公式，电场势能变化ΔU=电荷在电场中做功的大小W=Fs=qεd=（qd)ε=με】
其中，E为氨分子在电场中后的能级大小，a1和a2是系数。
将H11=E0+με，H22=E0-με，H12=H21=-A代入式10-3中。
由于με总是远小于A，则式10-4中的平方根可近似为：
因此，两个能级近似地与电场强度ε的平方成正比，也就是说，氨分子对电场是异常敏感的。
因此，氨气形成细束后通过一个具有颇大的横向电场的区域时，处于|Ⅰ>态的分子所具有的能量随电场的平方增大而增大，这部分分子束将向电场较低区域偏转。相反，处天|Ⅱ>的分子将向将向电场较高区域偏转，因为它的能量随电场增大而减小。
十二、氨微波激射器（3）——变化电场中的共振跃迁释放微波：跃迁的概率幅呈余弦变化的推导
处在|Ⅰ>态的分子束被送入一个共振腔，另一分子束被丢弃。腔内有一个变化的电场。
如果腔内没有电场，则分子束将一直处于|Ⅰ>态，因为这个基础态相当于两个摆处于反向摆动的稳定状态。
如果高能级的|Ⅰ>态处于正弦变化电场ε中，假设ε大小为：
氨分子跃迁时能量差对应的频率ω0与高、低能级态关系如下：
其中，EⅠ、EⅡ分别是高、低能级态的能量，A是两个能级态之间跃迁时所需要的能量。
要想知道跃迁时，能级变化的概率幅的大小是如何变化，则需要求出能级变化的概率幅的大小。
根据式10-4，我们知道氨分子在电场中的能级大小为：
由于με很小，远小于A，从式10-4中我们可以得到一个能级的近似大小，即：
其中，γⅠ和γⅡ代表了两个能级的概率幅的系数，是复数。
最终，我们可以算出在|Ⅱ>态的概率大小是（式12-1）：
从上图可知，若电场的变化频率ω与氨分子高、低能级态间的跃迁变化的频率ω0接近，即ω→ω0，则氨分子被频率振荡的电场诱发从高能态跃迁至低能态的概率幅呈余弦式变小，较低能级态的概率幅呈正弦式变大。
跃迁过程中释放出的能量则馈入振荡电场。氨分子释放的能量不仅能维持腔的振荡，还提供少量能量转换为外界的电磁场能量——微波。
从式12-1可知，当氨分子通过共振腔的时间为T时，如果使腔长正好满足：
那么，进腔时处于态|Ⅰ>的分子离开腔体时必处于态|Ⅱ>中，也就是说，高能态进入空腔，低能态离开腔体，释放的微波能量最充分，这就是制造微波激射器的原理。
激光其实也不过是一种工作在光学频率的激射器，激光的“共振腔”通常由两块反射镜组成，在两反射镜之间建立起驻波。
1、费曼从水波的干涉谈起，得出的规律是：水波干涉的本质是振动位移的叠加。能量与振幅的平方成正比。
2、类似的，从电子干涉现象得出的规律是：电子干涉的本质是概率振幅的叠加，能量（概率）与概率幅的平方成正比。需要注意的是，概率幅包含了复数，这就是概率波与经典波的最大不同之处，也是概率波的神奇之处。
3、微观粒子不仅通过双缝时会发生干涉，只要是演变路径不可分时，都会发生干涉。如果演变可分，或演变的结果不同，则总系统的概率的大小不再是概率幅的平方，而是各路径的概率之和。
4、借助施特恩-格拉赫装置，得出的结论是：不同基础态之间的演变，本质仍是不同基础态的概率幅的叠加造成的。将每对不同的基础态演变的概率幅大小列成表，便可形成矩阵。
5、将施特恩-格拉赫装置串联起来，分析各基础态之间演变的概率幅大小时，如果采用矩阵，便可以得到矩阵的乘法法则。
6、如果微观粒子的能量E=hω，则可以推导出概率幅随时间变化的微分方程组（也称为哈密顿方程组），这个方程组中显示基础态的概率幅的系数竟能是能级大小和跃迁能量的大小。
7、通过对氨分子的结构分析，氨分子中氮在“上”或“下”的状态的概率幅的大小本质仍是由较高能级和较低能级的概率幅的叠加。
8、为了解释这两种能级为什么是稳定的，将较高能级和较低能级类似摆的能量较高的反向同步摆动（反相摆动）和能量较低的同向同步摆动。这其实也解释了氮原子在“上”或“下”的状态并不是稳定状态，而是随着时间的推移，氮原子总是会一定概率穿透势垒翻转到另一侧。
8、氨分子在变化电场中之所以能激发出微波，本质就是氨分子两种能级的概率幅的演变。当电场的变化频率等于跃迁能级的频率接近时，较高能级的概率幅随时间发生余弦式变小，较低能级的概率幅随时间发生正弦式变大，两侧的概率幅的平方和始终为1。
总之，费曼从概率幅叠加的角度来阐述微粒的行为，受益非浅。
（观点主要来自《费曼物理学》，如有谬误，请见谅。）
