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1、物理量由矩阵^A表示。所有的物理可观测量（如位置、动量、角动量、能量）都不再是普通的数字，而是用矩阵来表示。
对于我这样的一个理解迟顿的人，却对海森堡的矩阵力学内容的理解有非常浓厚的兴趣，这看上去多少有些不自量力，但在我的认知范围内，如果能在逻辑上做到理解，做到自洽，那也是一件快乐的事。
（1）为什么有关电子的物理量（比如空间位置，动量等）是矩阵？
（2）非对易关系是如何推导出来的呢？
（3）如何从非对易关系推导出不确定性原理？
（4）海森堡运动方程是如何推导出来的？
我们先从第一个问题开始。
要研究量子化的电子位置，我们需要先研究经典力学中是如何研究电子位置的？
在经典物理中，电子做周期性运动时（比如绕核沿特定轨道旋转或来回振荡），电子的位置随时间变化的函数x(t)如下：
此方程其实描绘了一个在复平面上以角速度ω旋转的向量，向量的长度为振幅A，在实轴上的投影就是电子实际的位移x(t)。
如果一个电子的运动是复杂的周期性运动，通过傅里叶级数的展开，复杂的周期性运动可以看作是一系列简单的周期性运动的叠加，如下图所示。
因此，对于处于复杂周期性运动中的电子位置x(t)的方程式（我们考虑一维简化模型），我们可以将其写作：
其中，k是谐波的量子数（为整数）,ω是轨道运动的基本频率，X_k是指第k次谐波的傅立叶系数，它是复数形式的振幅，代表了第k个频率成分的“权重”。
由于光谱谱线分立，玻尔提出，原子内的电子总是位于不同的能级上，当电子在不同能级间发生跃迁时会发出辐射，辐射频率的大小由下式求出：
此式称为玻尔频率条件。
发出辐射的原因不再只限于经典电磁理论中电子的加速度，也可以是能级的跃迁。这两种看似矛盾的说法，在逻辑上必须要统一，那么，哪种方式更为本质呢？
我们坚信电子发生能级跃迁是产生辐射的更本质的原因，至于电子具有加速度时也会发出辐射，可能是能级跃迁时产生的一种等效的效果。
比如，我们其实是看不到电子振荡的，之所以确认电子振荡的存在，是因为根据它发出辐射的频率来反推电子振荡的存在，又通过电子振荡进一步推断出电子在某条轨道上运动并具有加速度，最终推断出：辐射来自电子的加速度。
既然我们通过辐射的发生来反推加速度的存在，为什么不可以通过辐射的频率来反推能级的存在呢？
从加速度的角度来思考电子的位置，则要求电子要有准确位置、有确定的电子轨道，电子的加速度如何求算。
如果从能级角度来思考电子的位置，显然电子的准确位置，确定的轨道以及电子的加速度是不需要考虑的因素，我们更关注电子的能级跃迁带来的一系列现象。
通过电子的能级跃迁视角取代电子加速度视角，有可能使现象分析变得更简单明了。经典的色散现象通过玻尔频率条件来解释就是一个很好的例子。
最早用玻尔频率条件来重新审视色散现象的人叫Kramers(克喇默斯或克莱默斯），荷兰人，是玻尔的助手。
他借助玻尔的频率条件和对应原理，对色散原理做了一个更本质的解释，公式如下：
此公式称为克莱默斯-海森堡色散公式。
此公式与经典色散公式最大的区别在于：用能级跃迁频率代替原子的固有频率。这就解释了为什么有的原子有多种固有频率，原来这跟原子的能级跃迁频率有关。
公式的具体推导过程如下：
该色散公式说明了一个物理理论可以由能级跃迁频率等可观察的量来描述。
更为重要的是，克莱默斯的色散公式展示了如何运用对应原理来对经典物理量运用量子化视角来重新诠释的可能。
比如上面的色散公式中，经典物理中原子的固有频率对应于量子理论中能级跃迁频率。
克莱默斯的助手海森堡，对经典物理中电子周期性运动的情况分析时，进一步将对应原理当成一种“构造工具”。
在经典物理中，一个做复杂的周期性运动的粒子（比如绕原子核旋转的电子），电子位置x(t)可以展开为一个傅立叶级数——即将电子周期运动的时频图像转变为频域图像，方程式如下（命名为6-1）：
根据克莱默斯的对应原理，原子的固有频率对应于能级跃迁频率，因此，海森堡把谐波频率kω也对应为跃迁频率ω_nm。
当能级 m 和 n 都非常高且彼此接近时（即大量子数极限），跃迁频率ω_mn会趋近于经典的轨道频率 (m−n)ω。
根据对应性原理 ，海森堡除了对经典物理中的谐波频率进行了新的诠释，海森堡还对经典物理中的电子位置也进行新诠释。
在经典物理中，由式1可知，电子位置x(t)是由一组数共同描述的，这组数是由代表不同谐波权重的傅立叶系数X_k组成的。
根据对应性原理，量子化的电子位置应仍由一组数来描述，这组数应当也要具有权重的属性。
类似傅立叶系数的形式为X_k，体现能级跃迁的概率的函数的形式应为X_nm（物理学上，X_nm也称为从m能级到n能级的跃迁振幅）。由于从数学上看概率是可以叠加的，那么，这组数也具有了代表能级跃迁权重的属性。
通过对应性原理，海森堡并不是消除经典物理量，只是对经典物理量重新做了新的解读和诠释，赋予新的含义。
比如，经典电子位置与量子化的电子位置都是指电子的“空间位置”问题，都是由一组权重来描述的。只不过，经典电子位置是通过一个包含时间和谐波频率的函数的权重（傅立叶系数）来确定，而量子化的电子位置是通过一个包含能级跃迁频率的函数的权重（跃迁振幅）来确定。
于是，经典电子位置是指电子在某个时刻的空间位置准确在哪里，而量子化的电子位置是指电子的空间位置可能在哪里。
知道准确的空间位置，我们便可以进一步推导出电子的速度、加速度、动量等大小。如果只知道可能的空间位置，我们最多只能推导出某个单位体积内电子出现的概率大小。
那么量子化的电子位置X_nm形式的具体内容是怎样的呢？
我们先来看这么一个例子。
在经典物理中 ，两列谐波（周期运动）发生耦合作用时，将会产生新的频率分量。
两列谐波函数系数进行卷积计算，我们将得到新谐波函数傅立叶系数的大小，公式如下：
具体的推导过程如下：
新的谐波函数的傅立叶系数代表耦合强度。耦合强度大，则能量容易在不同频率模式间转移，会产生强烈的混合频率效应，比如混沌、共振等非线性现象。耦合强度弱，近似线性，各模式基本独立。
由于经典的卷积公式如下（命名为式9-1）：
根据对应性原理，表示权重的傅立叶系数变为表示权重的跃迁振幅，则式9-1可变为如下形式（命名为式9-2）：
式9-2表明，如果要发生能级n跃迁至能级m，也一定发生了类似谐波耦合的作用（比如，频率ω_mk与ω_kn之间耦合）。
根据经典谐波耦合时，需要考虑所有可能的中间路径k（n→k→m），则不同的能级跃迁（比如n→k和k→m两种不同的能级跃迁情况）也会发生耦合（或称叠加），因此，也要考虑每一条中间路径，将每一路径的跃迁振幅X_mk和Y_kn相乘后相加起来（类似卷积），从而得到能级（n→m）跃迁的总振幅。如果跃迁总振幅大，则意味着能级转移非常容易，发生能级跃迁的可能性极大。
因此，经典物理中，卷积要面对所有可能的频率对ω_n与ω_nk，从而得到总耦合强度。在量子物理中 ，卷积也要面对所有可能路径的频率对ω_mk与ω_kn，从而得到总跃迁振幅。
我们把ω_mk与ω_kn的所有跃迁振幅用表格表示，则总跃迁振幅Z_mn的计算过程如下：
物理学上，X_mk和Y_kn的表格形式被称为矩阵。因此，跃迁振幅的卷积其实就是矩阵乘法。
我们现在已经知道了两个能级发生跃迁时的跃迁振幅Z_mn的具体形式，则我们现在可以写出量子化的电子位置x(t)的函数形式（命名为9-3）：
其中，式中X_mn是一个矩阵积。
根据式9-3，在量子物理中，动量也是矩阵，动量的权重的形式如下（命名为10-1）：
由式10-1可知，通过对应性原理，量子化动量的权重系数p_mn也是一个矩阵，而且动量矩阵（严格地说，应称为动量权重矩阵）p_mn与位置矩阵（严格地说，应称为位置权重矩阵）X_nm是通过能级跃迁频率ω_mn联系起来的。
由于量子化的电子位置是一个没有确定值的物理理，因此，对于动量而言，也是一个没有确定值的物理量。
同样的，从动量角度，如果跃迁振幅大，也意味着能级转移非常容易，发生能级跃迁的可能性极大。
式10-1的推导过程如下：
在经典力学中，运动方程由作用量原理导出，经过一系列的推导（具体推导过程见文章《相空间——犹如影子内阁决定真实的世界》）得到如下的一个等式——关于拉格朗日函数L与哈密顿函数H之间的关系式（命名式11-1）：
在经典力学中，对于哈密顿量 H(p,q)，正则方程如下：
关于什么是哈密顿量，以及上面两个的等式的具体推导过程见前面发布的文章。
之所以研究哈密顿力学，这是因为哈密顿力学相比牛顿力学，具有适用于任意坐标系，更适于分析和数值计算的优点（因为它是一阶方程形式，牛顿力学的加速度是二阶方程）。
在哈密顿力学中，使用广义坐标和广义动量（q_i,p_i)作为基本变量，任何物理量（也称动力学变量）都可以表示为广义坐标、广义动量和时间的函数，例如能量、角动量矢量。其中，我们将广义坐标和广义动量张成的空间称为相空间。系统的瞬时状态由相空间中的一个点表示，系统的演化由相空间中的一条轨迹表示。
这说明，广义坐标和广义动量的组合能完全确定系统的动力学状态，能揭示了力学系统的深层几何结构。
要推导量子化的正则方程式，也需要从式11-1开始。
经过一系列推导，我们将得到如下的量子化的正则方程式（命名为式12-1）：
具体的推导过程如下：
在经典物理中，任意一个动力学变量A（比如能量函数H和L，轨道角动量L和自旋角动量等），都有A=A(q_i,p_i,t）的函数形式，它随时间演化的方程为：
（注：dA/dt表示A中包含所有变量对时间的变化率，∂A/∂t表示A的除了时间外其他变量为常数时A值对时间变化的变化率——只考虑A随时间变化情况）
具体的推导过程如下：
推导过程中定义的泊松括号｛A,H｝，如果进一步进行推导，我们可以得到一些有趣的结论，比如正则方程也可以写成泊松括号形式：
具体的推导过程如下：
由于经典的正则方程可以写成简洁的泊松括号形式，那么，量子化的正则方程是否也有类似的泊松括号形式的表达式呢？
经过一系列的推导，我们也的确得到类似泊松括号的简洁表达式：
具体的推导过程如下：
在推导过程中，的确有类似泊松括号表达式的形式(AB-BA)，于是根据对应性原理，我们把类似泊松括号的表达式命名为对易子[A，B],即[A，B]=AB-BA。
把物理理不仅是广义坐标或广义动量，也可以是其他物理量，那么根据对易子的推导，我们其实可以写出所有适合矩阵形式的力学变量的运动方程(即海森堡运动方程)的形式如下:
具体的推导过程如下（实质上是将上面的内容推导再写一遍）:
由于广义坐标q_i和广义动量p_i是最基本的动力学变量，将它们进行泊松括号操作，我们将得到如下的等式（命名为式13-1）
具体的推导过程如下：
根据对应性原理，由基本广义坐标和广义动量构成的适应于矩阵的基本对易子的关系如下：
具体的推导过程如下：
在矩阵力学中，经典力学中的广义坐标和广义动量都是量子化的，都是矩阵形式。
量子化的矩阵形式的广义坐标和广义动量满足以下对易关系：
现在，我们可以通过基本对易子来推导海森堡矩阵力学中最伟大的成就——不确定原理。
但还请耐心一下，我们先要了解一下著名的柯西不等式的矢量形式：
也可以写成如下形式：
其中，A和B都代表矢量。
具体的推导过程如下：
根据方差公式的定义，方差公式如下：
上式中的x_i是指任意变量，u是所有变量的平均数，σ^2是指方差（此处方差属于总体方差，方差开根号后的结果σ称为标准差）。
如果考虑每个变量x_i的权重P_i，我们将权重P_i代替1/N，则有：
有某个物理量A，在量子物理中，它是一个矩阵。矩阵的每个元素对应着状态之间转换时的概率幅的大小。
无论系统处于叠加态和定态，都可以先求出概率幅（跟叠加态和定态有关的概率幅）的和，再与系统的本征值进行乘法计算，它们的积就表示原子系统中电子的某个物理量A的平均值（也称为期望值，用<A>表示）。
方差公式里的平均值u也是一个包含权重信息的平均数，因此，量子物理中的期望值<A>就相当于方差公式中的u。
我们不仅可以通过理论上的方法得到期望值的大小，也可以通过实验的方法，比如，在实验中测量出尽可能多的此状态下的物理量A的大小，并将这些物理量的大小进行求平均值，这个实验中测得的期望值也可以无限接近理论上算得的期望值。
在量子物理中，期望值<A>形式为：
其中，a_i为个某个能级（也称本征态）的对应的物理量的大小（也称本征值），i是指能级的层数，P_i是指处于多种能级叠加时，各能级的物理量大小占的概率大小，它是矩阵元素（概率幅）的模的平方）。
至于什么是本征值，下面是详细的介绍（从矩阵角度解释本征值为什么可以是一个实数）。
我们已经知道，量子物理中的期望值<A>相当于方差公式中的u。
现在，我们为物理量A矩阵定义一个偏差矩阵△A，形式如下：
其中，△A为偏差矩阵，A是物理量（矩阵形式），<A>是期望值，是一个实数。
由于矩阵格式不能直接与实数数值相加减，所以，定义一个基本矩阵I与数值形式<A>相乘变成一个矩阵形式的期望值。单位矩阵I与任何物理量矩阵的关系都是对易的，即[A,I]=AI-IA=0。
显然，也会存在下列等式：
偏差△A的平方相当于Σ(x_i-u)^2。
为什么要将偏差△A进行平方运算，这是因为偏差△A的平均值<△A>跟Σ(x_i-u）的结果都为零，比如：
因此，为了体现数据的离散程度，需要将△A进行平方运算。
因此，根据方差公式的方差σ^2的形式，量子物理中类似方差的形式如下：
在方差公式中，方差σ^2开平方根后为σ，此σ称为标准差。在量子物理中，也有对应标准差的表达式，我们也称为标准差，用σ_A来表示，具体形式如下：
如果有两个物理量A与B，而且我们定义Z为A与B的内积，即Z=AB，当然矩阵的内积仍是矩阵形式。
我们会发现，矩阵Z的共轭矩阵Z*=BA。
具体的推导过程如下：
最初，海森堡做了一个思想实验，计划用光子测量电子的位置，则电子的位置测量的准确性Δx与光子的波长成反比（即光子的波长越长，Δx越大，即电子位置测量的准确性越差），同时计算出电子的动量变化Δp（发现光子的波长越长，动量变化Δp变化越少），于是初步推导出ΔxΔp∼h。
现在，我们利用上述诸多的准备步骤，通过一系列的推导，我们便可以得到逻辑性更严密的不确定原理的表达式，形式如下：
或者写成：
具体的推导过程如下：
我们再回顾一下不确定原理的推导的过程：
1、从傅立叶级数的展开公式，我们得到任何复杂的周期运动可以分解成简单的谐波组成。
2、将傅立叶公式与玻尔的频率公式结合，克莱默斯认为，原子的固定频率其实是由能级跃迁形成的频率决定的。
3、海森堡进一步认为，所有经典理论中的物理量和公式，其实都可以通过对应性原理来重新描述。比如，电子位置如果从能级跃迁来描述，那么它不再是确定的，而是由一个矩阵来描述的。经典理论认为辐射来自电子加速度，与辐射来自能级跃迁都是来自倒推，很明显，后者的后推更高明，更具有生命力。
4、既然电子位置是矩阵，那么，其他物理量（动量，能量）也被证明可以描述成了矩阵形式。
5、经典动力学变量的演化方程和经典力学的正则方程式的组合，让我们发现一个简洁的描述上述规律的符号——泊松括号。于是，我们得到了泊松括号版本的正则方程和经典力学方程。
6、将泊松括号版的正则方程运用对应性原理（即物理量是距阵思维结合），我们得到了适合量子物理的对易子版本的正则方程。
7、更进一步，将基本泊松括号关系与对易子版本的正则方程结合，我们推导出了非常重要的基本对易子关系，即[A,B]=iℏ。
8、运用方差公式与柯西不等式，我们推导出适合概率计算的柯西不等式。
9、由于矩阵式的物理量暗含概率的组合，则物理量的不确定性ΔA正好与方差吻合，运用概率论的方差公式，我们得轻松得到有关不确定性的不等式。
10，结合对易子关系，我们最终逻辑严密地得到的不确定性原理。
显然，最核心是基本物理量位置矩阵与动量矩阵的对易子关系的推导。
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