克莱因-戈登方程——正电子存在的理论依据

六、负能导致负概率的推导

在克莱因-戈登方程方程中，能量与概率成正比，能量与概率的联系如下：

当能量形式为负能量时，显然概率也会变成负值。

在单粒子量子力学框架下，负概率密度意味着粒子出现的概率为负，这在物理上是无意义的。因此，克莱因-戈登方程作为单粒子波函数方程是不自洽的。

具体的推导过程如下：

为了解释概率密度为负值的问题，这需要新的理论来支撑，于是促使了量子场论的诞生。在量子场论中，ρ被重新解释为电荷密度而非概率密度。

七、量子场论的出现

1930年，狄拉克提出”狄拉克海”理论。

他假设真空是充满了负能状态的电子的“海”，所有负能态已被电子填满（由于泡利不相容原理），一个负能电子只有吸收足够能量跃迁到正能态，就会在海中留下一个“空穴”。这个空穴的行为仍像一个带正能量的电子，不过电性为正——即正电子（电子的反粒子）。

该预言于1932年被安德森实验证实。

（图中向上和向下的白色曲线轨迹，分别代表正负电子的轨迹）

然而，狄拉克海解释仅适用于费米子，对于克莱因-戈登方程描述的玻色子并不适应，因为玻色子并不遵循泡利不相容原理。

1934年，泡利（Pauli）和魏斯科普夫（Weisskopf）通过二次量子化重新解释克莱因-戈登方程：将波函数视为场算符，负能解对应于反粒子的产生算符，负能量问题由此在量子场论框架中得到解决。在场论中，ρ被重新解释为电荷密度而非概率密度，电荷密度（乘以粒子电荷 e），负值对应于反粒子的相反电荷，从而自洽。