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索末菲伟大之处——发现了更普适的量子化规则：将每个自由度进行相积分，并等于普朗克常数的整数倍。
最初（1911年），卢瑟福（英国）提出原子结构的核式模型。
接着（1913年），卢瑟福的学生玻尔（丹麦）为了解释电子绕核运动不对外辐射能量的现象，提出了玻尔模型——电子的轨道是量子化的，电子发生跃迁时才会对外辐射能量。从理论上完美推导出里德伯公式（1888年提出的一个描述氢原子光谱线波长的经验公式）。
后来（1914年），有人发现了原子光谱有细微的能级分裂（使用高分辨率光谱仪研究氢原子光谱时，巴尔末系的谱线的Hα 线并非单一谱线，这种现象也称为原子光谱的精细化结构）。
1915年，索末菲（德国）认为原子光谱出现精细结构，是因为电子轨道是椭圆的，且应该考虑相对论效应。
根据哈密顿力学的相空间理论（广义动量p和广义坐标q作为变量构成的抽象空间称为相空间），索末菲认为∫p dq可能对应于某个循环过程中做的功，又根据绝热不变原理（当外界条件变化足够慢时，系统的某些特征会保持不变），所以，索末菲认为积分∮p dq 是一个绝热不变量，当系统参数缓慢变化时，这个积分保持不变。
索末菲认为电子沿椭圆轨道运动时，用两个自由度（极角θ和极径r）——而不是用笛卡尔坐标系的x,y,z作为自由度——就可以完整地描述电子绕核转动的系统。
于是将每个的自由度的动量（分别是角向动量、径向动量）应用相积分，并将每个自由度的相积分分别进行进行量子化（即将自由度的相积分等于普朗克常数的整数倍）——这种做法其实实现了更普适的量子化规则。
对电子的角向动量和径向动量进行了量子化后，再根据相对论条件下的能量与动量之间的关系，代入量子化的动量，最终求解出符合实验现象的索末菲能级公式。
索末菲取得了辉煌的成果，然而，新的挑战又出现了……
1896年，彼得·塞曼（荷兰）使用半径10英尺的凹形罗兰光栅发现，当钠火焰置于强磁场中时，钠的D谱线似乎出现了加宽的现象。这种加宽现象实际是谱线发生了分裂，其光谱线会分裂为三条。
塞曼效应发现后的不久（1897年），塞曼的老师洛伦兹（荷兰）应用经典电磁理论对这种现象进行了解释。洛伦兹假设原子中的电子在平衡位置附近作简谐振动，弹性恢复力为F=−kr（k 为弹性系数）。
外加磁场的均匀静磁场沿z 轴方向，因此，电子振动的加速度不仅由库仑力产生的弹力影响，还要受到洛伦兹力（运动电荷受到的磁场的力F=evB）的影响，振动方程为（此为式1）：
其中，me是指电子质量，d^2r/dr2是指振动加速度，r是指电子的振幅，k是弹性系数，B是外加的磁场强度。
（1）沿z轴振动（与磁场方向一致，不受洛伦兹力对振动的影响），则振动方程的振动频率不受洛伦兹力影响，保持不变。关于振幅的振动方程为：
其中，z是振幅，z0是最大振幅，ω0是角速度，φz是指初始相位，k是弹性系数，me为电荷量。
（2）在x-y平面内振动（与磁场方向垂直，受洛伦兹力对振动的影响），则关于振幅的振动方程写成复数形式为（式2）：
（1）在z 方向振动频率仍为ω0 ；
（2）在x-y 平面存在两种圆偏振振动ω+ 和 ω−。
当考虑环路电流对其他磁体产生作用，这时最好的方法是从环路电流周围的磁场分布情况出发来分析——因此，考虑对其他磁体产生作用，应用磁场概念。
然而，当环路电流受到外在磁场作用时，需要将环路电流产生的磁场全部考虑进去，这时再用磁场的角度来分析环路电流受力情况就显得非常复杂了。于是，我们创造磁矩概念，用这个概念来概括环路电流产生的所有磁场的大小——因此，考虑受到其他磁体作用时，应用磁矩概念。
如下图，当外磁场是均匀的，且方向与电流环路平面垂直时，电流环路会受力平衡。当外磁场是非均匀的（比如某块磁铁靠近环形电流，磁场强度程梯度变化），则电流环路不再处于平衡状态，它将沿磁场方向运动起来，因为环路电流会受到跟磁场方向一致的力。
而且如图可知，当环路面积越大，则B2,B4方向的磁场强度越大，则环路电流受到向下的力也越大。这说明，环路电流受到的磁场力与环形面积有关。
为了便于分析环路电流受力情况，于是将电流大小与面积大小组合在一起，命名为磁矩，而且规定磁矩的方向满足右手螺旋定则（四指沿电流方向弯曲，拇指指向A方向）。
1825年，安培提出磁矩大小等于电流强度与环路面积的乘积，其公式为：
其中，I为环路中的电流；A为环路包围的面积矢量，方向由右手定则确定。
如果外磁场呈梯度变化，磁场方向与磁矩方向一致，则环路电流沿磁场方向（或磁矩方向）运动。
当外磁场方向与磁矩方向垂直，则会形成力矩，环路电流以环路电流的平面的直径为轴转动起来。
当一个电流环被放入磁场B中时，由于环面的法线方向不一定与磁场方向一致，则环会受到一个力矩τ = μ × B，这个力矩会使环转动到与磁场对齐的方向（即环面的法线方向与磁场方向一致），从而使环受力平衡。
势能的变化与这个力矩所做的功有关。当磁矩从角度θ转到与磁场方向一致时，所做的功就是势能的改变量，积分τ*dθ，结果应该是-μB cosθ，也就是-μ·B。当磁矩μ与磁场B同向时θ=0，势能最低（最稳定），相当于异名磁极相吸时能量状态；反向时θ=180，势能最高，相当于同名磁极相斥时能量状态。
当外加磁场B（沿 z轴方向）时，磁矩与外磁场的相互作用能（势能）为（称为式1）：
电子绕轨道运动会产生电流环，从而产生磁矩，称为轨道磁矩，我们可推导出电子的轨道磁矩与角动量的关系为（称为式2）：
其中，μl是指轨道磁矩，e是指电荷量，L为角动量(L=mvr)，me为电子质量。
式2说明，电子的轨道磁矩也可以通过角动量来描述。由于电子的角动量是量子化的，由此可以推知，轨道磁矩也是量子化的。
电子绕轨道运动会产生磁矩，我们可将磁矩与外磁场的相互作用能转换成包含角动量L的形式，则形式如下（称为式3） ：
其中，μl是指轨道磁矩，e是指电荷量，L为角动量(L=mvr)，me为电子质量。Lz是轨道角动量在磁场方向（z-轴）的分量（即电子轨道与磁场方向垂直时，此电子轨道平面上电子的角动量大小，它的大小应为Lz=Lcosθ）。
由于角动量L是量子化，则Lz也是量子化的，则有Lz=hm，m命名为磁量子数，则有
其中，ΔE为能级分裂的能量，μB为玻尔磁子，B为磁感应强度，m为磁量子数。
由于能级分裂间距为μBB，因此，当电子的轨道平面相比法线方向平行于磁场方向的轨道平面向上偏或向下偏时，分别是放出能量差μBB和吸收能量差μBB，则会两种不同能量差，于是对应谱线分裂为三条（Δm=-1,0,1)。
1897年，科学家发现，在弱磁场中或某些原子（如碱金属）的光谱线分裂并非三条，而是更多条（例如两条、四条等），且分裂间隔也与经典理论预测不符。这种“反常”现象无法用洛伦兹的经典理论解释。人们把这种现象叫做为反常塞曼效应。
显然，洛伦兹和索末菲的理论无法解释这种现象。因此，这个问题一直困扰着人们。
1922年，斯特恩-盖拉赫实验发现银原子束通过非均匀磁场时分裂成两束，而非经典预期的连续分布。
电子必须具有两种可能的磁矩取向，对应两种量子态，这无法仅用轨道角动量解释。因为，用轨道角动量来解释，应该至少是三条分裂的光谱线。
最初，乌伦贝克和古兹米特尝试通过引入电子自旋解决上述矛盾，可能是电子自旋而使电子有了磁矩，然而泡利认为“经典转动”会导致电子表面速度超光速，因此拒绝认可。
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