玻尔模型及索末菲模型的学习心得

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“

        最近正看一本物理学家张礼写的《近代物理学进展》，开篇第一句话的原文：“20年代，玻尔的氢原子光谱理论取得了辉煌成就。”

        为什么说这个理论取得了辉煌成就？

        这个问题就让我纠结了近一个月，通过反复学习和思考，我终于有了一点点个人的收获。

       

”

       




一、从玻尔模型谈起



1911年，卢瑟福（英国）提出了原子的核式模型，认为原子存在中心带正电的核，电子在绕核做圆周运动。
但根据1864年麦克斯韦方程组，加速运动的电子会发出一种能量辐射（称为电磁波）。
拉莫尔（英国）甚至推导出加速电子能发出能量辐射的公式，叫拉莫尔公式，此公式说明辐射功率与加速度的平方成正比，此公式形式如下：
其中a为加速度，e为电子电荷，c为光速。此公式表明，辐射功率与加速度平方成正比。
如果电子的确绕核做圆周运动，那么从侧面看，电子就是在做上下往复的振荡运动，犹如像天线中的电子一样做上下变速运动，而这种运动形式是一定会持续辐射能量的。
所以，根据麦克斯韦方程组，绕核做圆周运动的电子会因持续辐射能量导致轨道坍缩，但原子是稳定的，因此，人们对卢瑟福的核式模型并不认同。
1913年，玻尔（丹麦）仍坚信电子的确是绕核运动的，但为了弥补核式模型的缺陷——核式模型的稳定性问题，他提出了三个假设：定态轨道、角动量量子化和跃迁时的能量辐射。
10多年前（1900年），普朗克（德国）就提出能量在发射和吸收时并非连续变化，而是以最小单位——量子的形式跳跃式变化，这个最基本的能量单位与频率的关系就通过普朗克公式E = hν来表达，其中E表示能量，h是普朗克常数，ν代表频率。
于是，玻尔根据普朗克提出的能量辐射是量子化的假设，强行假定（缺乏逻辑性）电子在固定轨道上绕核做圆周运动时不会有能量辐射的发生。这就是定态轨道假设。
玻尔还认为，只有当电子在不同的轨道间跃迁时，才会有能量辐射，能量为能级差ΔE=hν。这就是跃迁辐射机制。
玻尔还假定电子轨道的角动量的表达式如下（此式为1-2）：
其中，n=1,2,3,…为整数，ħ为约普朗克常数。
电子轨道的角动量量子化，使得轨道半径和能量也是量子化的。这就是量子化角动量条件。
玻尔理论成功解释了氢原子光谱的是离散性的事实（如巴尔末系、莱曼系等），并推导出里德伯公式，准确预言了谱线波长。这些成果就是玻尔理论取得的辉煌成就。





二、玻尔提出轨道角动量量子化假设的依据



奇怪的是，玻尔为什么不直接提出轨道能量是量子化，而是假定轨道角动量是量子化？
原来，1888年，约翰内斯·里德伯（瑞典）提出了一个经验公式——里德伯公式，这个公式是描述氢原子光谱线波长的经验公式，它能够精确预测氢原子光谱中不同谱线系的波长。
公式形式（此式为2-1）：
λ：发射或吸收的光的波长。
R：里德伯常数（R≈1.097×10^7m^−1）。
n₁、n₂：正整数，且 n₂ > n₁，分别表示电子跃迁的低能级n₁和高能级n₂。
因此，玻尔发现，如果假定轨道的角动量是约普朗克常数的整数倍——即角动量是量子化的，则能从理论上推导出里德伯公式，从而完美证明轨道的角动量量子化的假设合理性。
具体的证明过程如下：
 轨道角动量的量子化是玻尔的伟大发现，因为这个假设符合实验事实——轨道的能量也具有量子化。




三、玻尔理论的不足



1914年（玻尔提出玻尔模型后的第二年），阿尔弗雷德·福勒（英国）在使用高分辨率光谱仪研究氢原子光谱时，发现巴尔末系的谱线的Hα 线（氢原子的电子其他能级跃迁至第2能级形成的可见光的光谱线称为巴尔末系谱线，其中从第3能级跃迁到第2能级时形成的能量最低的、波长最长的呈红色的一条光谱线称为Hα 线）并非单一谱线，而是存在细微的双重线结构（即两条紧密相邻的谱线）。这一现象被称为精细结构。

（Hα线在高分辨率下分裂为两条光谱线）

      显然，玻尔模型对氢原子光谱的精细结构无法进行解释。





四、索末菲的修正思路



1915年，索末菲（德国，玻尔的助手）认为氢原子光谱出现精细结构是因为电子绕核运动并不是圆形，而是椭圆形的，因为当电子分别位于椭圆轨道的长半轴和短半轴时，由于速度不同，根据相对论效应，电子的质量也将不一样，也就是说，电子在长半轴和短半轴时的能量也有微微不同，于是形成不同的能级。

那么，如何具体描述这分裂能级能量的大小呢？





五、电子动量的量子化



圆只有切向速度，如果假定轨道是椭圆的，则椭圆上任意某点的速度可分解为切向速度（速度方向与椭圆边缘相切）和径向速度（速度方向与椭圆极径方向一致）。
因此，按照极坐标（r,θ），则椭圆轨道上的电子动量可分解为径向动量pr和切向动量（或称角向动量）pθ。椭圆轨道上每一点的切向速度和径向速度时刻都在发生变化，因此，相对应的角动量与径向动量也是变化的。
根据动量的守恒性，径向动量pr和切向动量分别与极坐标（r,θ）进行作用量积分操作后，将得到一个常量。这个作用量的积分结果假定与普朗克常数间存在正整数的倍数关系，便体现了比玻尔模型更有适应范围广泛的轨道模型。
径向动量pr和切向动量分别与极坐标（r,θ）进行作用量积分操作的表达式如下（此式命名为式5-1）：

其中，其中，p为动量，pr为径向动量，pθ为切向动量，θ为极坐标中与角向动量相对应的极角，r为极坐标中极径（电子与核之间的距离），nr为径向量子数，nθ为角向量子数，h为普朗克常数。




六、电子在库仑场中运动时考虑相对论效应的总能量



现在，我们先来分析一下电子在库仑场中的总能量的表达式是怎样的，然后通过引入动量的量子化来推导出体现量子化的电子能级公式。
考虑相对论效应，电子运动时总能量有两种表达式。
（1）电子运动时的总能量等于静止能量m0c2与动能T之和，形式如下（此式命名为式6-1）：
其中，m0是指静质量，c是光速，E是电子运动时的总能量，T是指电子运动时的动能。
（1）由静质量与运动质量的关系，推导出电子运动时的总能量的表达式如下（此式命名为式6-2）：

       其中，E是考虑相对论效应的电子运动时的总能量，p是指考虑相对论效应的动量，c是光速，m0是指静质量。

此表达式由来的具体推导过程如下：
合并式6-1和式6-2，则电子的动能T为（此式为6-3)：
其中，m0是指静质量，c是光速，E是电子运动时的总能量，T是指电子运动时的动能，p是指考虑相对论效应的动量。
当电子在库仑场中时，它的总能量是电子动能T与库仑势能V之和，形式如下（此式为6-4)：
其中，E是考虑相对论效应的电子运动时的总能量，T是指电子运动时的动能，V是指电子的库仑势能，m0是指静质量，c是光速，p是指考虑相对论效应的动量，ε0是指介电常数，r是指电子距原子核间的距离。





七、相对论性索末菲能级公式的推导



根据电子在库仑场中的总能量表达式（式6-4)，我们可以推导出关于动量的平方的表达式（此式为式7-1）：
其中，p是指考虑相对论效应电子的动量，E是考虑相对论效应的电子运动时的总能量，m0是指静质量，c是光速，ε0是指介电常数，e是电子电荷量，r是指电子与核间的距离。
根据矢量计算法则，动量p可分解为径向动量pr和切向动量（或称角向动量）pθ。则动量的平方为（此式为式7-2）：

其中，p为动量，pr为径向动量，pθ为切向动量。
又因为角动量与角向动量存在关系为：L=rpθ，所以式7-2可变形为如下表达式（此式为7-3）
合并式7-1和式7-3，可得如下的表达式（此式为7-4）：

把式7-3代入式5-1中，得到的表达式为（此式为7-5）：
其中，E是考虑相对论效应的电子运动时的总能量，m0是指静质量，c是光速，ε0是指介电常数，e是电子电荷量，r是指电子与核间的距离，L是电子的角动量（注意不是角向动量），nr为径向量子数（取整数），h为普朗克常数。
将式7-5转变为能量形式，可得到相应的表达式如下（此式为7-6）
其中，En,nθ是考虑相对论效应且进行量子化后的电子的总能量（即为电子的能级能量），m0是指静质量，c是光速，α是精细结构常数，ε0是指介电常数，e是电子电荷量，n为主量子数，nθ为角向量子数（取整数），h为普朗克常数。
式7-6就是索末菲结合玻尔模型的能级公式，进行相对论效应修正后，得到的总能量（能级）公式，此公式也称为相对论性索末菲公式。此公式准确与氢原子光谱精细结构观测结果一致，验证了相对论效应的必要性。
由式7-5推导出式7-6的具体过程如下:

    如果用En代表经典氢原子能级能量，则索末菲推导出相对论修正后的能级公式为：


其中，α为精细化结构常数。




八、结语



最初，汤姆生提出原子结构的枣糕模型。
汤姆生的学生卢瑟福，通过α粒子散射实验的事实，提出了原子结构的核式模型。
 卢瑟福的学生玻尔，通过假定电子绕核运动的轨道是量子化的，成功从理论上验证了里伯德公式，解释了氢原子光谱，从而从理论上也解释了核式模型的稳定性问题。
索末菲，通过假定电子绕核运动的轨道是椭圆且考虑相对论效应，对玻尔模型的公式进行修正，成功解释了氢原子光谱存在精细化结构的现象。
索末菲实际上是借助了泛函数（所谓泛函数是指将系统的某个量通过积分得一个作用量）来对电子的运动情况进行描述和分析，通过某种更基础的方法来导出电子运动的某些量子化条件，在理论上更加自洽。
正是这种思维，导致后来者也可以采用了相同的方法来解释光谱中更精细化结构的现象。
比如氦原子中的电子之间有相互作用，造成电子的轨道情况更为复杂，但索末菲的研究方法其实不仅仅适合于椭圆，也适合更为复杂的轨道情形，甚至是离散型的概率幅情形。

（氦原子模拟图）
氦的电子之间的相互作用可能使能级分裂更复杂。
（以上观点均来源网络素材的整理，感谢deepseek，让我探索过程中遇到的疑问始终能得到满意的解答。）



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