阅读数: 5 点击上方蓝字关注知新物理 “ 玻尔兹曼非同寻常，是统计物理和原子论的奠基人。他的玻尔兹曼分布定律让物理现象的描述既不可思议却极为准确。 ” 一、从动量定量到自由度 牛顿的动量定理的公式如下： 现有一个容器，内有大量的气体分子在做无规则运动，设水平方向的运动速度为vx，如图所示。 （图1） 则上式的变形推导过程如下： 其中m是指分子总质量，Δvx是指分子沿x轴方向碰撞活塞的前后的速度变化，t是指分子到达活塞所用的时间，N是指分子总个数，m0是指单个分子质量，vx是指分子沿x轴方向的速度。 所有分子的数量N等于单位体积的分子数n与能对活塞产生力的作用分子所占的体积V的乘积，则上式变为： 其中，F是指所有分子在单位时间内对活塞产生的力，n是指单位体积的分子数n，L是指体积V所占的长度，S是指体积V所占的面积，m0是指单个分子质量，vx是指分子沿x轴方向的速度，t是指分子到达活塞所用的时间。 由于L/t的比值正好与vx相等，则上式变为： 其中，F是指所有分子在单位时间内对活塞产生的力，n是指单位体积的分子数，S是指体积V所占的面积，m0是指单个分子质量，vx是指分子沿x轴方向的速度。 将面积移到等式的左边，则由F/S的比值得到物理量——压强p，则上式变为： 其中，p是指所有分子对活塞产生的压强，n是指单位体积的分子数，m0是指单个分子质量，vx是指分子沿x轴方向的速度。 并非所有的分子朝活塞方向运动，只有一半是朝活塞方向运动的，所以，上式应当变为： 其中，p是指所有分子对活塞产生的压强，n是指单位体积的分子数，m0是指单个分子质量，vx是指分子沿x轴方向的速度。 由于每个分子不可能都有同样的速度，则每个分子对的贡献不相同，因此，贡献的影响自然是对vx2取平均值（由于速度是矢量，不能求平均值，而vx2是标量，是可以进行平均值计算的），如果平均值用<>符号表示，则上式变为： 其中，<p>是指所有分子对活塞产生的平均压强，n是指单位体积的分子数，m0是指单个分子质量，<vx2>是指分子沿x轴方向的速度的平方的平均值。 分子在x方向上的平均运动，与在y、z轴方向运动是相同的。所以有<vx2>=1/3<v2>，则上式变为： 其中，<p>是指所有分子对活塞产生的平均压强，n是指单位体积的分子数，m0是指单个分子质量，<v2>是指分子在空间任意方向的速度的平方的平均值。 显然，每个分子的动能为1/2m0v2，因此上式变为： 其中，<p>是指所有分子对活塞产生的平均压强，n是指单位体积的分子数，m0是指单个分子质量，<1/2m0v2>是指分子的平均动能。 由上式可以看出，平均压强<p>其实代表着单位体积内的所有分子动能的总和。 显然，在图1中，活塞平衡时，即使活塞两侧的气体的体积和种类不同，但它们的压强和温度一定是相同的。 这表明<1/2m0v2>与温度T一定成正比，即 比例系数为3/2k（这是为了方便表示三个坐标中每个坐标的平均动能为1/2kT）。 每个坐标方向都是独立的运动，故称为自由度。因此，每个自由度的能量为kT/2。 因此，有关气体的平均压强<p>的表达式可变为 其中，<p>是指所有分子对活塞产生的平均压强，n是指单位体积的分子数，k是分子动能与温度之间的转换系数，T是温度。 一般可把<p>写成P，则上式为： 其中，P是指所有分子对活塞产生的平均压强，n是指单位体积的分子数，k是分子动能与温度之间的转换系数，T是温度。 二 、玻尔兹曼定律 对于大气层，不同的高度时，且温度不变时，单位体积的分子数n其实随高度h变大而变小的，则上式可变为： 其中，dP是指所有分子对活塞产生的平均压强，dn是指单位体积的分子数的变化量（或称分子密度的变化量），k是分子动能与温度之间的转换系数，T是温度。 若不同高度的气体温度是相同的（热平衡），则产生压强差来自高度差dh部分的气体重力，即向上的压力与向下的压力差与dh部分的重力大小相等，受力示意图如下： 数学推导过程如下: 其中，Ph+dh是指在高度h+dh处的向下的平均压强，Ph是指在高度h处的向上的平均压强，dP是指高度h+dh处和高度h处的压强差，S是指选取的面积，dF是指压力差，dG是指dh部分分子所受的重力。 由于压力方向与重力方向相反，所以，压强差变为重力相关的表达式时，符号为负。 上式进一步推导，可得 其中，dP是指高度h+dh处和高度h处的压强差，dG是指dh部分分子所受的重力，dm是指dh部分的气体质量，g是指重力与质量之间的转换系数（也叫重力加速度），m0是指单个分子质量，n是指单位体积的分子数，dV是指单位体积，ndV可代表单位体积内的分子数，S表示选取的面积，dh是指高度差，ndh可代表单位面积上的分子数。 将（1）式与（2）式合并，于是得到： 其中，dn是指单位体积的分子数的变化量（或称分子密度的变化量），k是分子动能与温度之间的转换系数，T是温度，m0是指单个分子质量，g是指重力与质量之间的转换系数（也叫重力加速度），n是指单位体积的分子数，dh是指高度差，ndh可代表单位面积上的分子数。 需要强调的是，这里之所有有dn与n的区别，是因为一个代表单位体积内的分子数量变化dn，一个与dh组合成ndh表示单位面积上的分子数量。 将上式进一步推导： 其中，dn是指单位体积的分子数的变化量（或称分子密度的变化量），dh是指高度差，m0是指单个分子质量，g是指重力与质量之间的转换系数（也叫重力加速度），n是指单位体积的分子数（也可称为分子密度），k是分子动能与温度之间的转换系数，T是温度。 这样，我们得到一个分子密度n随高度变化的方程。 从这个方程里可以看出，密度的微商正比于它的本身，显然，这个方程就是一个指数方程，所以，这个微分方程的解为： 其中，n0是指高度为h=0（我们可任意选定）处的分子密度。 这说明，分子密度随高度的上升呈指数地衰减。这条规律就是神奇的玻尔兹曼分布定律。 所以，分子密度随高度上升并不是均匀减小，质量大的分子衰减得更快，所以，极高处只有氢的存在。 指数里有负号，分布情况成指数般衰减的情况相吻合。 三 、玻尔兹曼分布定律在其他领域的应用 我们注意玻尔兹曼分布定律中指数的分子的 m0gh其实是每个原子的重力势能。 这说明大气层中的分子（原子）分布与分子（原子）的重力势能的大小有关。 如果不是重力场，而是其他的力，比方是电荷间的相互作用力，该规律是否可以适用。 答案是肯定的。我们只要把m0g换成每个原子受到的外力F，把dh换成dx就可以了。由于外力做功总是克服系统内部的力使物体的势能增加，所以有如下等式成立： 所以，玻尔兹曼分布定律可以写成更普遍的式子， 这个公式告诉我们，在一种给定空间排列下找到的分子的概率是按势能的负值除以kT作为指数的变化。 比如，有一个原子，在原子中央有一个带正电的原子核，它将负电的电子吸引在周围，那么在不同位置吸引带负电的电子是如何排布的呢？如果势能是已知的，那么在不同距离上粒子的分布比例就按上面的定律决定。 四 、玻尔兹曼分布定律与量子力学 在量子力学理论中，能级是等间隔的，如果E0=0（或者某个常量），于是第一能级 为E1=hν，第二能级 为E2=2hν，依次类推。根据玻尔兹曼的分布定律，各个能级出现的概率不是等间隔的，却是按指数-Ei/kT变化的，公式如下： 其中，n1是指某个能量为E1的特定状态的概率，n0是指某个能量为E0的特定状态的概率。 比如，在一个分子或原子系统中，当温度极高，则kT>>Ep，则指数部分接近为0，则分子彼此间的能级的分布基本上与势能无关——即与位置和距离无关，也就是各处的概率都是一样的。如果kT<<Ep，则分子在r0附近出现的概率更大，即分子更愿意位于能量较少的位置上，在较远的位置上出现的概率很小。 现在，亲爱的你，是不是觉得玻尔兹曼的分布定律是不是很是神奇。 知新物理 长按二维码关注我们 温故可以知新 Was this helpful? YesNo 0 / 0
