在四维时空里，如何描述电磁波

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“

电磁波在三维空间里是用电场和磁场来描述的。然而，四维时空才是最真实的世界，使用四维的物理量来描述电磁波将是一件有趣的事情。

”

一、四维矢量之四维位置矢量

标

洛伦兹变换，无论是方程组形式，还是矩阵形式，都可以看出ct,x,y,z这四个数在洛伦兹变换下并不是孤立的，也就是说，时间维度t与空间三维度（x,y,z）之间存在耦合的关系。

因此，为了能完整准确地描述某个事件的“位置”关系，我们需要四个维度的坐标，我们称为四维时空坐标。这四个维度组成矢量（或称向量）称为四维位置矢量，符号为X。因此，ct,x,y,z是四维位置矢量X的四个分量。

一个事件的位置可以用四维位置矢量 X 表示为：

虽然时间维度t与空间维度（x,y,z)都是维度之一，但性质并不能完全等同，所以，我们需要将时间维度t作虚数处理，因此，时间维度表示为ict（时间维度之所以还要乘以c，是为了使时间维度显示为类空间性）。

两个事件之间的差异用四矢量ΔX表示。

二、四维标量之四维时空距离

标

现在，我们进一步来研究ct,x,y,z。

比如，当光在坐标系K中从某处传播到另一处时（即发生了事件P₁,P₂），两个事件间的时间为t，三维空间的距离为L，则在以速度u离开的坐标系K’中描述这两个事件时，两个事件间的时间为t’，三维空间的距离为L’。

根据光速不变原理，则有

将上式变形可得

命名c²t²-x²-y²-z²为s²，则

或写成

我们发现c²t²-x²-y²-z²的大小在任何四维坐标系中都是相等的，是一个不变的值，也就是说，任何两个事件的间隔的大小不随四维坐标系的变化而发生变化。

这种情况非常类似三维空间的矢量的长度（或称模），矢量的长度不会随三维空间坐标系的变化（比如平移或旋转）而发生变化，始终是一个不变的值。

于是，类似的，我们也将c²t²-x²-y²-z²的大小称为四维时空距离（或称四维时空长度、或称时空间隔），用s²表示。由于s²不受坐标系变化的影响，所以，我们把四维时空距离s²称为（洛伦兹）四维标量。：

三、四维标量之四维固有时

标

在四维时空中，既然有不随惯性坐标系的改变而变化的四维时空距离，类似的，我们是不是可以定义出一个不随坐标系变化而变化的四维时间呢？

答案是肯定的，因为光速的大小在任何坐标系都是不变，将四维时空距离与光速进行比值计算，我们是可以得到一个称为四维时空里的四维固有时间（简称为四维固有时）。显然，四维固有时跟四维时空距离一样，属于四维标量。

四维固有时与四维时空距离的关系式如下：

则正常的时间与四维固有时之间的关系为：

具体的推导过程如下：

四维固有时也称为沿世界线测量的时间。

之所以称为沿世界线的测量时间，是因为在四维时空（即闵可夫斯基空间）中，每个物体的运动轨迹可以被描述为一条连续的路径，这条路径称为该物体的世界线。世界线不仅包含了物体的空间位置变化，还包含了时间上的进展。

换句话说，世界线是一条穿越时空的曲线，记录了物体从一个事件到另一个事件的完整历史。

固有时的重要性在于它提供了一种独立于观察者运动状态的时间度量方式。

即使不同的观察者可能因为相对运动而看到不同的时间流逝（即时间膨胀效应），他们对于物体沿其世界线经历的时间——固有时——却有相同的认识。

四、四维矢量之四维速度

标

有了四维固有时，现在我们可以来定义一个四维速度。

当一个物体在某个坐标系中的速度为u，则需要注意的是，直接用三维速度添加一个维度得到的矢量不是四矢量的速度。

正确的做法是——用表示四维时空距离的矢量（即四维位置矢量X）与四维固有时的比值来求得，即

其中，L是指三维空间中表示距离的位移矢量，X是指四维时空中的表示事件间隔的位置矢量（类似三维空间的位移），t是指时间，τ是指四维固有时。

因此，四维速度也是一个四维矢量。

四维速度U_i和我们最初定义的速度具有某种联系：

五、四维标量之四维电荷密度

标

设在静止的参照系K中的元电荷量为dQ ,在沿x轴方向运动的参照系K’中的无电荷量为dQ’，则两者的关系应当为：

如果两者不相等，那么库仑定律、麦克斯韦方程组以及其他依赖于电荷量的电磁学定律将在不同的参照系中有不同的形式。这违反了相对性原理中物理定律应该在所有惯性参照系中保持一致的形式的规定。

所以，元电荷量dQ是一个四维标量。

由于元电荷量等于电荷密度与元体积的乘积，则

一个在静止系的物体的长度若为x，当此物体处于以速度为u’运动系K’中时，在静止系中测量此物体运动时的长度则为x’，根据“动尺缩短”的变换规律，x’与x的关系为：

当此物体处于以速度为u”运动系K’中时，在静止系中测量此物体运动时的长度则为x”，根据“动尺缩短”的变换规律，x”与x的关系为：

将上面两式组合，得到

因此，对于dV和dV’，根据在一个方向上“动尺缩短”的变换规律，也将有：

上式中，上式中左边的表达式和右边的表达式都是由洛伦兹因子γ与元体积dV的乘积，显然，这个值在任何坐标系中都是不变的，所以，洛伦兹因子γ与元体积dV的乘积也属于四维标量，不妨称为四维体积。

进而，根据dQ=ρdV可知，下面的这个表达式

也是在任何坐标系中都是不变的，所以，这个表达式称为四维电荷密度，也属于一个四维标量，符号为ρ₀，表达式如下：

六、四维矢量之四维电流密度

标

通过导体单位横截面积的电流强度我们称之为电流密度，用j_i表示。

根据电流的定义公式，可得

其中，ρ是电荷线密度，u是电荷漂移速度（这是一个矢量），j_i是电流密度（它也是一个矢量）。

因此，电流密度等于电荷线密度与电荷漂移速度的乘积。

因此，用一个四维标量（四维电荷密度）和四维矢量（四维速度）就可以构造出一个四维矢量——四维电流密度：

其中J_i是我们的四维电流密度矢量，ρ₀是四维电荷密度，U_i是四维速度， ρ就是我们往常所知的电荷密度，j_i是我们的三维矢量的电流密度。

七、三维电流密度的散度

标

在三维直角坐标系中，电流密度的散度可以通过以下公式计算：

这个公式意味着对每个空间方向上的电流密度分量分别求偏导数，然后将这些偏导数相加（通过求偏导数，矢量转变为了标量，所以可以直接相加），便得到了具有标量性质的物理量——电流密度的散度。

散度的物理意义是某点处矢量场的源强度（发散强度）或汇的强度（汇聚强度）——即矢量线从该点发出或进入的程度。

如果电流密度的大小代表的是矢量本身的强度的大小，代表“有多少”；电流密度的散度则代表矢量场在某一点附近是汇聚还是发散情况，关注的是“如何变化”。

比如，某段导体中x轴方向上有很大的不变的电流密度，则电流密度不为0，但电流密度的散度却为0，因为此时电流在导体中任意某点都不存电流的汇聚和发散。

八、经典的电荷守恒定律

标

显然，在一个封闭系统内，电荷密度的时间变化率等于电荷从一个点流出或流入的强度（一般用散度表示），电荷的总量不会随时间改变，这个规律称为经典的电荷守恒定律。

公式形式如下：

其中，j_i是我们的三维空间的电流密度矢量， ρ就是我们往常所知的电荷密度，t 是时间，而 ∇ 表示矢量微积分中的散度运算符。

上面公式中∂ρ/∂t代表电荷密度的时间变化率，∇⋅j_i表示电流从一个点流出（正散度）或流入（负散度）的强度。

此公式说明电荷密度的时间变化率等于电流密度的负散度，意味着电荷不能被创造或摧毁。

比如，某一段导体中通有电流，电流不变，则∇⋅j_i=0，这意味着没有净电流进入或离开该位置，或者说任何进入该位置的电流都被等量的离开该位置的电流所抵消，这说明电流是稳态的，此时电荷密度也不随时间变化∂ρ/∂t=0。

因此，电荷密度的时间变化率与电流密度的散度不仅都是标量性质，而且本质上是一回事。

比如，由两个平行金属板构建成的电场中，金属板上电荷密度的时间变化率与导线中电流密度的负散度是相等的。

九、四维时空的微商算符

标

我们如何表示关于四维时空的微商算符呢？

如果四维时空的微商算符表示为∂i，则具体的形式如下：

四维时空的微商算符是关于时空坐标的偏导数，也称为四维梯度、四维导数。

十、协变的电荷守恒定律

标

于是，我们将四维电流密度Ji（四维矢量）对四维时空位置矢量Xi（四维矢量）进行微商（或称偏导）操作后，得到上面的经典的电荷守恒定律表达式：

由于J_i是一个四维电流密度矢量，对四维时空位置矢量进行微商（或称偏导）操作后，得到了一个具有散度性质的物理量——四维电流密度的散度（用∂_iJ_i表示）。

四维电流密度的散度为0，说在一个体积内电荷的变化率等于流入或流出该体积的净电流。由于此公式属于四维时空条件下推导得出的，在所有惯性参考系中的形式不变，所以称此电荷守恒定律有协变性。此公式称为协变的电荷守恒定律。

由于四维电流密度的散度等于一个常数，即四维电流密度的散度在任何坐标里都是一个固定值。这意味四维电流密度的散度大小不会因为惯性坐标系的改变而发生变化，属于四维标量的一种。

十一、洛伦兹规范条件

标

由于上式为0，则证明四维时空的微商算符∂i满足：

由于四维时空的微商算符∂i为0，是一个常量，说明它在任何坐标中都成立，四维时空的微商算符∂i是一个四维标量。

凡是其他四维标量或四维矢量对四维时空矢量位置进行微商（或称偏导）操作时——即与四维时空的微商算符∂i结合，都要出现为0的现象，这种情况称为满足洛伦兹规范条件。

十、经典波动方程（达朗贝尔方程）

标

波动方程的推导是一个经典的物理问题，我们先从经典的一维波动方程谈起。

考虑一根均匀、细长且不可拉伸却有弹性的弦，两端固定，弦上任意一小段的质量为dm，张力为 T。设弦沿 x 轴水平放置，而其垂直位移用u(x,t) 表示，其中 x 是位置坐标，t 是时间。

（注：图片来自知乎博主LEON）

这根弦的波动方程为：

对此方程进一步推算，我们可得波速的平方正是张力T与线密度ρ的比值，如下：

则，一维的弦的波动方程为

此方程也称为一维的达朗贝尔方程。

在三维情况下，波动方程变为：

可简写成

这里∇²是拉普拉斯算子，用于描述空间中所有三个维度的变化。这就是经典的三维波动方程，也称为三维的达朗贝尔方程。

十一、四维达朗贝尔算子

标

三维的达朗贝尔方程还可以变形为：

也就是说，

很有趣的是，上式正是四维时空的微商算符∂i与其自身的点积来构建的。

正是由于四维时空的微商算符∂i与其自身的点积是一个常数，也就是说，它在任何坐标系中都是不变的，也属于一个四维标量。

于是，我们将四维时空的微商算符∂i与其自身的点积命名为四维达朗贝尔算子，记作□或 □²。

则有如下表达式：

有了四维达朗贝尔算子，我们现在就可以写出四维的波动方程（也称为四维的达朗贝尔方程）。

比如，有一个四维标量函数φ，与四维达朗贝尔算子结合就是一个四维达朗贝尔方程，形式如下：

这与三维达朗贝尔方程的形式完全一致，但它现在是以一种保持洛伦兹协变性的形式表达。

十二、麦克斯韦方程组

标

描述电磁场，最早由麦克斯韦列出一个麦克斯韦方程来描述，形式如下：

其中ρ和J分别是电荷密度和电流密度，电场E和磁场B都是我们通常熟悉的三维矢量概念。

上述形式的麦克斯韦方程显然不具有显式的洛伦兹协变性，因为在不同的坐标系中，上述形式会发生变化。

因此，需要利用四维语言，将上述三维形式的麦克斯韦方程组等价改写为洛伦兹协变的四维形式。

我们已经证明，三维的电荷密度和电流密度可组合成四维矢量——四维电流密度。

那么，类似的，我们应该也可以利用电场E和磁场B来创造出一个四维的物理量出来。

十二、电势与磁矢势的由来

标

我们电磁场可以由一个四维物理量来描述。由于电磁场是由电荷产生的，但电荷的运动情况分静止和运动两种状态，所以，电磁场分别从电荷静止和运动的两个方向来描述。

（1）当源电荷静止时，此时源电荷只产生静电场，没有磁场，因此，可以找到一个标量场的梯度来描述。这个标量场称为电势ϕ，由电势ϕ对各个坐标进行偏导数操作便可以得到标量场的梯度，这个梯度就称为静电场的电场强度E。

（2）由于磁场的散度为0，这说明我们可以把磁场的形成看成是某个矢量场（这个矢量场被称为磁矢势，符号为Ai）的旋度。原因如下：

如图所示，

在某个在一个闭合环路 L上任意做两个不同的曲面S1和S2，显然，磁感线通过两个面的数量（即磁通量）没有增加也没有减少，或者说以S1和S2组成的闭合曲面S上，进入S的和离开S的磁感线的数量相等。

S

【注：一定面积内磁感线的数量称为磁通量，符号为Φ，单位面积内的磁感线的数量称为磁感应强度，符号为B，所以，磁通量=磁感应强度与面积的乘积，Φ=BS。】

由于通过曲面S的磁通量仅由它的边界线L所决定，我们就可能找到一个矢量Ai，使得它沿边界线的dl作积分等于通过某个曲面S的磁通量，则有：

根据斯托克斯公式（此公式是指一个将曲面积分转换为边界曲线上的线积分的数学定理），可得

因此，我们可得（这个式子称为式1）

因此，磁场可以看成是磁矢势的旋度。

在上面的推导过程中，我们还可以看出，即使磁感应强度B是一样的，闭合环路是可以不固定的，这说明，磁矢势可以是不确定的，仍可以得出相同的磁感应强度B。

（3）根据法拉第的电磁感应定律，当一个闭合回路中的磁通量Φ发生变化时，会在该回路中产生感应电动势ε：

根据磁通量的定义，上式可变为下列形式（称为式2）：

进而根据感应电动势可推导出沿闭合回路 C 的电场强度E的大小：

根据斯托克斯公式，可得的表达式如下（称为式3）：

由式2和式3，我们可得式4 ：

上式告诉我们，时变磁场是会产生感应电场的。两者关系图像如下：

由图可以看出，感应电场是一个涡旋电场。

由于涡旋电场的电场线是闭合的，从而它不是保守场，即它不是由电荷激发的，而是由变化的磁场所激发。

我们再将式1代入式4，我们可得

我们发现，感应电场的大小是可以通过矢量势Ai来描述的——矢量势的时变速度等于这部分附加电场的大小，矢量势也称为时变矢量势。由于它也与产生磁场也有关，又称为磁势。

所以，完整的电场应当由两部分组成，一部分是静电场，一部分是感应电场，完整的电场E的表达式为：

上式中之所以是负值，可以从重力场来得到解释，重力的方向与重力势能减小的方向是一致的，当我们用末势减去初势时便会得一个负值，为了确保力的大小是正值，所以在前面加负号。由于重力场与静电场都是保守力场，所以，当对电势进行偏导操作时，也需要在前面加负号。

− ∂Ai/∂t中的这个负号反映感应电场的方向总是试图抵抗引起它的因素变化。

十三、电磁势

标

通过一系列的推导，我们发现整个电磁场的E和B完全可以由两个量来描述，分别是标量的电势Φ和矢量的磁矢势Ai。

因此，我们可以把电势与磁势组合成一个四维的矢量，我们称之为电磁势，符号为A。

根据洛伦兹规范条件，四维电磁势 A 的四维梯度应满足以下条件：

具体的形式，如下（命名为式5）：

十四、重述麦克斯韦方程组

标

现在我们用这个四维的矢量，如果组成四维的矢量，来重新描述麦克斯韦方程组，看看有什么新的发现。

麦克斯韦方程组如下：

（1）方程组的第一个方程，我们将我们将用电势φ和磁矢势A来描述的B和E，我们得到如下等式：

经过一系列推导，我们将得到如下等式（命名为式6）：

具体的推导过程如下：

（2）方程组的第四个方程，我们将用电势φ和磁矢势A来描述的B和E，我们得到如下等式：

经过一系列推导，我们将得到如下等式（命名为式7）：

具体的推导过程如下：

十五、电磁波是关于电势和磁矢势的波动方程

标

显然，把式5代入式6中，可以变成如下形式（命名为式8）：

显然，把式5代入式7中，可以变成如下形式（命名为式9）：

太让人惊奇了，式8和式9竟然是四维达朗贝尔方程，也就是说，电势和磁矢势都以波的形式在空间传播，而且电磁势还真的是一个四维物理量。

现在，四维电磁势和四维电流密度能联系起来了。原来，电荷密度是电势的源，电流密度是磁矢势的源。

离开电荷和电流等源后（即ρ=0，J=0），电磁波仍会像弦一样，不用拔动也会继续振动，并把振动传播出去。这时候，达朗贝尔方程的形式如下：

为了理解电磁势，我们有时不妨将电磁势类比为水流的能量。

从山顶流下来的水流的能量，不仅有重力势能，也有动能。重力势能由水位高低决定，电势类似水位高低，都是标量；动能由速度决定，磁矢势类似速度，都是矢量。在水位和速度的共同影响下，会形成直流和漩涡，类似电势和磁矢势会形成电场和磁场。

十三、小结

标

现在，我们将这篇文章的内容做一个梳理：

1、从光速不变，推导出四维时空距离在所有惯性坐标系中都是不变的值，因此，称为四维标量。

2、由四维时空距离推导出四维固有时，它也是一个四维标量，从某种角度上，四维固有时才是这个世界最真实的时间。

3、有了四维固有时，现在我们可定义出一个四维矢量——四维速度。

4、根据相对论的“动尺缩短”的效应，我们推导出一个标量——四维体积。

5、根据四维标量元电荷和四维体积，我们推导出一个四维标量——四维电荷密度。

6、根据电流的定义公式，利用四维标量的四维电荷密度和四维矢量的四维速度的乘积，我们构造出一个四维矢量——四维电流密度（icρ，j_i）。

7、通过对四维电流密度关于对四维时空位置（四维矢量）的微商操作，我们得到了协变的电荷守恒定律（电荷守恒分协变和经典，所谓经典，是指此公式在三维空间里成立的；所谓协变，是指此公式在四维时空条件下是成立）。

8、四维电流密度关于对四维时空位置（四维矢量）的微商称为四维电流密度的散度，由于它大小为0，是一个常量，所以，它属于四维标量。

9、通过对四维电流密度的散度的分析，我们还可以得到四维时空的微商算符∂i也是一个四维标量。因此，所有与四维时空的微商算符相结合的物理量，都将是一个四维标量，此这种情况称为满足洛伦兹规范条件。

10、推导出经典的波动方程（即经典的达朗贝尔方程）。

11、从经典的达朗贝尔方程，我们得出四维时空的微商算符的内积是一个四维标量，称为四维达朗贝尔算子，记作□或 □²。如果某个物理量与四维达朗贝尔算子结合后得到常数，则证明这个物理量是一个波。

12、电场强度E和磁感应强度B我们用电势和磁矢势概念来描述。

13、利用电磁势重新描述麦克斯韦方程组，我们得到了电磁波原来是关于电势和磁矢势的波动方程。

（声明：部分内容参考知乎博主nought的文章《如何用洛伦兹变换推导出运动电荷的电磁势》、知乎博主Eidamon的文章《电磁场的标势与矢势公式推导》以及通义千问的搜索。本文属个人观点，谬误之处较多，仅供参考。）

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