量子隧穿效应——自然界的想象力远超人类

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        α粒子发生量子隧穿时，不能把量子想像成粒子，而是波。波穿过的不是实体墙，而是一片蕴含极高势能的空旷区域（势能壁垒）——波遇到此区域，大多反射，穿透的概率极低。通过一维无限深势阱模型或不确定原理算出来的α粒子的运动速度，从而可以确定α粒子在单位时间内撞击势能壁垒的次数达到10万亿亿次。

        因此，即使穿透概率极低，但撞击次数极高，仍可以看到明显的铀的α粒子衰变现象。

”

       




一、放射性现象的发现



【图为利用云室观察铀的衰变，释放出的α粒子和β粒子的轨迹】
1896年，亨利·贝克勒尔（法国）研究铀盐时，意外发现铀矿石无需光照也能使包裹在黑纸中的照相底片感光，证明了铀自发发出穿透性辐射。
1898年，居里夫妇（法国）通过化学分步沉淀法，从沥青铀矿的铋组分中分离出一种新元素。其放射性比铀强400倍，命名为钋（其实不止400倍，但当时的测量技术和设备精度有限）。同年12月，他们从含钡组分中分离出另一种放射性更强的元素，放射性是铀的100万倍（其实也不止100万倍，但当时的测量技术和设备精度有限），命名为“镭”。
放射性的发现颠覆了物理学界对原子稳定性的认知。
1903年，卢瑟福（英国）通过磁场分离放射性物质辐射，发现天然放射性是几种不同的射线。他把带正电的射线命名为α射线；带负电的射线命名为β射线。





二、α粒子散射实验



1911年， 卢瑟福为了验证原子结构的类型，他在一个小铅盒里放有少量的放射性元素钋，钋发出的α粒子从铅盒的小孔射出，形成很细的一束射线射到金属箔上（金、银、铜等）。卢瑟福发现极少数粒子发生大角度偏转（甚至反弹），从而证明在原子内部有一个微小且高电荷的致密核，卢瑟福凭此现象提出了原子结构的核式模型。
卢瑟福通过经典力学推导出α粒子散射角θ与靶核参数的关系（即库仑散射公式），公式如下（命名为式2-1）：
其中，θ为散射角，E为α粒子入射动能，Z为靶核的电荷数，b为碰撞参数（α粒子与靶核的垂直距离，即下图中AO段距离）。
具体的推导过程如下：
从上述的推导过程可知，库仑散射公式还有一个妙用是：通过测知α粒子入射动能，便可测算出原子核的核半径。





三、靶核的核半径推导



库仑散射公式是如何测算出原子核的核半径的呢？
（1）当散射角θ=90时，根据库仑散射公式，cot(90°/2)=1，则我们可以得到此时的α粒子入射动能E大小为（命名为式3-1）：
其中，E为α粒子的入射动能，b为碰撞参数（b代表α粒子与靶核的垂直距离），Z为靶核的电荷数。
（2）根据库仑定律F=kq1q2/r^2，我们可以推导出α粒子处于原子核半径R处时的最大势能大小为（命名为式3-2）：
其中，V是指势能，R是指原子核半径，Z为靶核的电荷数。
由式3-1和式3-2可以看出，如果α粒子的入射动能达到最大时，且散射角为90度时，则V=E，此时b的大小与靶核的核半径R相等。所以，我们可以通过库仑散射公式可以推导出核半径R的大小。
具体做法是，保持散射角为90度不变，不断增大α粒子的入射动能（卢瑟福通过更换放射源来实现）。
α粒子的入射动能不断增大，如果动能仍遵循库仑散射公式，则b会成反比例减小。
一旦α粒子的动能与b不成反比例时，说明α粒子的散射不再只受到库仑场的作用，开始也受到了靶核的核力作用，这就说明了α粒子散射过程中的b达到了最小值，此时α粒子的入射动能E也与靶核产生的势能壁垒V大小相等，即E=V。
一旦确定靶核的势能壁垒的大小，我们就可以通过式3-2算出靶核的原子核的核半径R。
把得到的原子核的核半径进行分析，竟会发现可由下列的核半径经验公式（命名为式4-1）算出来的结果是一致的，此公式的形式如下：
其中，R0称为核半径常数，约为1.5fm，A是核子数。
具体的数据如下表（表3-1）：
在推导核半径的过程中，我们也明白了α粒子射向靶核时之所以会发生散射，不是因为原子核的边界是实心的硬壁，而是因为原子核的边界存在强大的势能壁垒。因此，α粒子的入射动能足够大时，甚至可以进入原子核内。
同理，如果原子核内要释放出一个α粒子的话，则这个α粒子也需要足够大的动能来克服核边界的强大的势能壁垒，这样α粒子才能从核内部被释放出来。
正是因为核边界强大的势能壁垒，原子核总是稳定的。
可是，铀核却在无任何外界条件的影响下却可以自发地释放出α粒子（即α衰变），这是为什么呢？




四、α衰变悖论



为了探究铀核的α衰变，我们分别测算一下铀核的势能壁垒和铀核释放出的α粒子的初始动能。
我们借助核半径计算公式和库仑场的势能公式可以计算出铀核（核电荷数Z=92，核子数A=238）的势能壁垒（可简称为势垒）的大小，计算的表达式如下（命名为式4-1）：
根据库仑散射公式可知，准确的碰撞参数d（α粒子与靶核的垂直距离）应该是α粒子核心与靶核的核心之间的距离的距离，即Rα+R靶。
式4-1阐述了一个α粒子靠近铀235核边界时遇到的势能壁垒是28.46MeV，因此，如果一个铀核的内部要释放一个α粒子出来时，根据能量守恒定律，α粒子至少也需要具有28.46MeV的动能才能克服这个势能壁垒。
可实验数据测得的铀-238衰变释放出α粒子的能量仅 4.27MeV。也就是说，α粒子动能 << 势能壁垒。
按能量守恒理论，这种低动能的α粒子应被永久囚禁在原子核内，衰变不可能发生！可是，铀的α粒子衰变却真实的发生了。这就是著名的α衰变悖论。

卢瑟福的感慨，“如果说α衰变教会了我们什么，那就是——自然界的想象力远超人类。”





五、一维势垒量子隧穿概率的推导(洪德）



为何低能粒子能逃出势能壁垒？
1927年，洪德（德国）将α粒子视为概率波而非经典粒子，利用基于时间无关的定态薛定谔方程，通过求解波函数并应用边界条件，以一维方形势垒为例，最终得到透射系数的相关公式（即隧穿概率表达式），公式如下（命名为式5-1）：

其中，T是透射系数，E是粒子总能量，V0是势垒高度 ，L是势垒宽度。

该表达式证明α粒子通过量子隧穿效应穿越势垒，无需达到经典能量阈值。也就是说，即使粒子能量 < 势垒高度，波函数仍能渗入势垒，并在墙外出现非零振幅的概率。

具体的推导过程如下：


如果势垒高且宽，则kL>>1（原因见第六部分的推导过程中的解释），则sinh(kL)≈1/2e^(kL)，则式5-1可化简为（此式命名为5-2）：

其中，T是透射系数，E是粒子总能量，V0是势垒高度 ，L是势垒宽度。





六、一维方形势垒量子隧穿概率的推导(伽莫夫）



1928年，伽莫夫（俄裔美籍）在利用一维势垒的推导α粒子量子隧穿概率时，对数据的处理与洪德有不同之处（采用了若kL>>1，则C≈0，即伽莫夫近似），从而根据定态薛定谔方程推导出的量子隧穿概率的表达式更为简洁。

伽莫夫的量子隧穿的概率表达式如下（命名为式6-1）：

其中，T是透射系数，E是粒子总能量，V0是势垒高度 ，L是势垒宽度。

具体的推导过程如下：

由洪德的式5-2和伽莫夫的式6-1的推导，从理论上证实了量子隧穿效应的确会发生，而且证实了量子隧穿的概率在进入势垒区域后呈指数e^(-2kL)衰减，也就是说，隧穿概率是非常小的。

上述两种的结论都将垫垒简单地视为一维无限深势阱模型，但势垒模型其实更接近球形，现在我们来推导球形库仑垫垒的量子隧穿的概率表达式。


α


附录：球形库仑垫垒的量子隧穿概率的表达式



发生α衰变时，势垒其实不是方形的，而是球形的库仑势垒。
通过推导，库仑势垒的情况下量子隧穿概率的表达式如下：
r1和r2是势垒区域的两个边界点，r1在核内，r2在库仑势垒之外。
其实，无论是一维无限深势阱模型，还是库仑势垒模型，都会使最子隧穿效应发生的概率呈指数衰减。



由于它呈指数衰减，按理说，应当无法观测到明显的衰变现象，可事实是，我们仍可以观测到明显的衰变现象，这是为什么呢？

要解释这个问题，我们要先测算出α粒子在核内的运动速度。


α


七、测算原子核内的α粒子运动速度



α粒子衰变的事实也证明了当α粒子在原子核内部时不会是静止的，而是永不停息地运动的。 

为了测算出α粒子的核内速度，我们需要建立一个模型——一维无限深的势阱模型。
由于只是测算出α粒子的核内速度，我们可以假定核边界是一个无穷大的势能壁垒的存在，这样可确保α粒子不会发生隧穿，α粒子的概率密度在核边界之外为0 ，即核边界处的α粒子波函数为0，这样就形成了一个无限深的势阱模型。
有了这个模型，通过测算，我们可以得到α粒子的核内速度如下（命名为式8-1）：
其中，Ek是α粒子的动能，E1是粒子在基态时（1s态）的能量，ma是α粒子的质量，R是核半径。
具体的推导过程如下： 
现在我们来计算一下铀核中α粒子的运动速度大小。
铀核（238）的半径R为：

把数据代入式6-1，则可得
所以，α粒子在铀238的核内速度为1.05×10^7m/s。
这个速度的大小我们还可以通过不确定原理来验证，过程如下：
由于α粒子在核内的速度非常快，则可以算出某个α粒子在每秒内高频撞击势垒的次数为：
尽管单个α粒子撞击一次势垒时发生量子隧穿效应的概率极低，但大题α粒子极高频（单位时间内撞击势垒的的次数竟达到10^21次）的尝试下仍是可以发生可观测的衰变的。

（以上内容主要来自deepseek的搜索）。




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